선형대수 - 벡터/행렬/행렬식

프로그래머를 위한 선형대수을 읽고 정리한 내용입니다. 혹시라도 책의 내용을 정리하는 것이 문제가 된다면 연락바랍니다.

이 책에서는 Ruby로 예제코드를 제공해주고 Ruby 언어를 읽을 줄 모르는 것은 아니지만 선형대수학을 간단하게 정리해보고 싶어서 개념만을 정리하기로 했습니다. 프로그래머를 위한 선형대수의 예제코드는 GitHub 레포지토리로 존재합니다.

이 책에서 데이터를 “공간”을 위주로 살펴본다. 벡터는 공간 안의 점, 행렬은 공간에서 공간으로의 직교 사상1, 행렬식은 사상에 따른 부피 확대율로 본다.

벡터와 공간

Transpose 연산

로 둘 때, 이다. T는 전치를 뜻하는 Transpose인데, 행렬로 적자면 아래와 같다.

column vector, row vector

column vector는 아래와 같은 형태이다.

그와 비슷하게 row vector는 아래와 같은 형태이다.

기저

기저는 기준이 되는 한쌍의 벡터를 말한다. 또 그를 통해 좌표를 말할 수 있는데 이는 각 기준으로 얼마나 나아가는지에 대한 정도라 할 수 있다. 또 이 기저라 할 때 , 는 각각 기저벡터이다.

기저가 되기 위해서는 몇가지 조건이 필요한데, n-차원 공간일 때 n개의 벡터가 일단 존재해야한다. 그리고 아래의 두 조건을 만족하면 된다.

  1. 어떤 벡터 라도 기저벡터의 실수배의 합으로 나타낼 수있다.
  2. 나타내는 방법은 한가지 뿐이다.

즉 3차원 공간일 때 한평면안에 3개의 벡터가 모두 포함되면 세 벡터는 기저라 할 수 없다. 아래처럼 다시 적을 수는 있는데, 수학에서 이렇게 표현한다고 한다..

이면 이다.

차원

차원은 벡터의 개수를 통해 정의한다.

차원 = 기저 벡터의개수 = 좌표의 성분수이다.

행렬

Transpose

아래가 전치행렬이다.

아래와 같은 규칙을 가진다.

Complex Conjugate Transpose

아래는 복소수 행렬의 Transpose 연산이다. 전치행렬을 구한 뒤 켤레 복소수를 취하여 얻는다.

대학 수업에서 dagger라는 표현을 사용하는 것으로 배웠으므로, 그렇게 표기하였다.

행렬값 구하기

이것은 부가적인 내용인데, 정리하는 김에 같이 정리한다.

와 같은 경우 옆처럼 계산한다고 배웠다.

이를 minor와 cofactor라는 것을 이용하여 2X2 행렬 뿐만이 아닌 모든 행렬에 대해서 자세하게 정리할 수 있다. 우선 minor와 cofactor에 대해서 정리한다.

Minor

처럼 쓰고, 특정 행렬에 대해 row , col 를 제외한 행렬의 determinant값이다.

라고 적을 때, 아래처럼 쓸 수 있다.

ex)

Cofactor

처럼 쓰고, Minor 값의 부호를 정해준다. Cofactor는 아래와 같다.

Determinant

위의 두 개념을 이용해 행렬의 값 다시 적으면 아래와 같다.

역행렬

역행렬을 구하기 위해 Cofactor를 이용한다. Cofactor의 값을 구하고 원래의 행렬과 이리저리 곱하다 보면 아래같은 결론을 얻는다. (원래의 행렬을 로 두고, Cofactor 행렬을 라 둔다)

(여기서 는 kronecker delta2를 의미한다. i와 j가 같은 경우에는 1, 다른 경우에는 0이 된다.) 위 식을 다시 쓰면 아래처럼 쓸 수 있다.

여기서 는 단순한 스칼라 값이므로, 아래처럼 고쳐쓸 수 있다.

즉, 행렬 A의 역행렬은 이다. () 이렇게 구한 역행렬은 A와 곱하는 순서를 바꾸어도 성립한다.

프로그래머를 위한 선형대수 1장을 내가 아는 내용과 함께 정리해보았다. 4월달에 시작한 내용인데, 다른 일에 정신이 팔려 많이 진행하지 못했다. 간단하게 내가 본 내용과 아는 내용(대부분 수업으로 들은 내용)을 같이 정리해서 말투도 왔다갔다하고 깔끔하게 정리되어 있지 않다.

참고자료

  1. https://ko.wikipedia.org/wiki/사상_(수학) 간단하게 말하면 함수를 추상화한 개념이라고 한다. 

  2. https://ko.wikipedia.org/wiki/크로네커_델타 단위 행렬 의 원소로 생각해도 된다. 

April 22, 2018 에 작성
Tags: linear algebra